教辅机构的管理归属主要 取决于机构的类型和所在地区的具体规定。以下是相关信息的总结：
学科类培训机构：
其主管部门为教育局。
非学科类培训机构：
可能涉及教育局、工商局以及教育局与工商局联合组成的办事机构的共同管理。
校外培训机构：
包括学科类和非学科类，都必须接受民办教育管理办公室（民管办）的领导，该办公室负责培训机构的审批直到注销。
教育培训机构的监管：
遵循地方政府下设的有关职能机关，如教育局、工商局以及这些机构的联合管理机构。
市场监督管理局、公安、消防部门：
对于校外培训班的经营方面、学生安全方面、场地的消防方面有监管权限。
地方教育主管部门：
如市属教育局，负责培训资质证的发放和日常教育的监督管理。
国家教育部门：
负责制定教育政策、规划和管理国家教育体系，对社会上的教育培训机构进行管理和监督。
综上所述，教辅机构的管理主要归属于 教育局或相关行政部门，具体管理职责可能因地区和机构类型而异，可能涉及多个部门的协同管理。建议具体咨询当地的教育行政部门以获取最准确的信息。