减刑的证据主要根据《中华人民共和国刑法》第七十八条及相关规定，具体包括以下几种情形：
悔改表现
认罪伏法；
认真遵守监规，接受教育改造；
积极参加政治、文化、技术学习；
积极参加劳动，完成生产任务。
立功表现
检举、揭发监狱内外犯罪活动，或者提供重要的破案线索，经查证属实的；
阻止他人犯罪活动的；
在生产、科研中进行技术革新，成绩突出的；
在抢险救灾或者排除重大事故中表现积极的；
有其他有利于国家和社会的突出事迹的。
重大立功表现
阻止他人重大犯罪活动的；
检举监狱内外重大犯罪活动，经查证属实的；
有发明创造或者重大技术革新的；
在日常生产、生活中舍己救人的；
在抗御自然灾害或者排除重大事故中，有突出表现的；
对国家和社会有其他重大贡献的。
申请减刑时，需要准备以下材料：
减刑或者假释建议书；
终审法院裁判文书、执行通知书、历次减刑裁定书的复印件；
罪犯确有悔改或者立功、重大立功表现的具体事实的书面证明材料；
罪犯评审鉴定表、奖惩审批表等。
这些证据和材料将有助于监狱管理部门或法院对服刑人员的改造表现和立功情况进行评估，从而决定是否给予减刑。